Medidas de dispersión en Excel

Explicaremos como calcular con fórmulas del Excel la varianza, la desviación media y la desviación típica.

Medidas de posición en Excel

Explicaremos la fórmula que hay que introducir en la celda del Excel para calcular los cuartiles y los percentiles de un estudio estadístico.

Medidas de centralización en Excel

Explicaremos los pasos necesarios para calcular la media aritmética, la moda y la mediana en Excel. 

Para algunos de estos cálculos utilizaremos las fórmulas que vienen en el programa.

Tablas de frecuencias en Excel

En este vídeo explicaremos como hacer una tabla de frecuencias en Excel.
Una vez la tengamos hecha, solo tendremos que cambiar unos pocos datos para tener todos los cálculos en menos de un minuto.

Agrupar datos en una tabla de frecuencias con el Excel

Explicaremos como agrupar los datos de un estudio estadístico en las columnas de x y frecuencia absoluta, para seguir calculando la tabla de frecuencias.

Ejercicios finales de estadística unidimensional

A continuación dejamos un documento con algunas actividades para repasar todo lo que hemos visto en el tema de estadística unidimensional, y al final del archivo encontrareis las soluciones para saber si lo tenéis bien hecho.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos indican cuánto se alejan los datos del estudio respecto a los valores centrales. 

Imaginemos que hacemos una encuesta para ver el número de hijos de las parejas. Si nos saliera que 15 parejas tienen 0 hijos, 100.000 parejas tienen 1 hijo y 18 parejas tienen 2 hijos (es una situación muy exagerada, pero quedará claro), los datos estarán poco dispersos, ya que casi todo el mundo tiene 1 hijo. Pero si los resultados fuesen 30.000 con 0 hijos, 32.000 con 1 hijo y 38.033 con 2 hijos, los datos estarían más separados y por lo tanto habría mayor dispersión (aunque la media sería la misma o muy similar en las dos situaciones).

Así pues, con estas medidas de dispersión se calcula matemáticamente cuánto se alejan los datos.

Hay cinco medidas de dispersión: el rango, la desviación típica, la varianza, la covarianza y el coeficiente de variación. Y tal y como explicamos detalladamente en el vídeo, la manera más fácil de calcularlas es mediante tablas, así será un procedimiento más mecánico y más rápido de aprender que memorizando las fórmulas únicamente.

Medidas de posición: cuartiles y percentiles o centiles

Las medidas de posición nos permiten conocer otros puntos o datos importantes y característicos de los valores del estudio estadístico. Hay dos tipos de medidas de posición que son los cuartiles y los percentiles.

Los cuartiles (Q) agrupan los datos en cuartos, es decir, en cuatro partes iguales. De manera que si el total de una cosa (el 100%) lo dividimos en cuatro partes, haremos cuatro separaciones/partes del 25%. 

Por todo esto, hay tres cuartiles:

• Q₁ o primer cuartil: hace referencia al 25% de los valores del estudio.
• Q₂ o segundo cuartil: hace referencia al 50% de los valores del estudio.
• Q₃ o tercer cuartil: hace referencia al 75% de los valores del estudio.

Vamos a verlo con un ejemplo con el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. Los podemos calcular de varias maneras. Si tenemos una tabla de frecuencias miraremos la columna del H_i:

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
0	4	0,15	4	0,15	15
1	12	0,46	16	0,61	46
2	8	0,31	24	0,92	31
3	2	0,08	26	1	8
	26

El primer cuartil correspondería al valor del H_i que llega o pasa del 0,25. De manera que en el ejemplo sería 1 hermano (0,61).

El segundo cuartil sería el que llega o pasa del 0,5. En este ejemplo volvería a ser 1 hermano (0,61). Esto quiere decir que el 50% aproximadamente tienen 1 hermano o menos.

El tercer cuartil sería el que llega o pasa del 0,75. En este caso sería 2 hermanos (0,92). Y esto quiere decir que el 75% aproximadamente tienen 2 hermanos o menos.

Hay otra manera de hacerlo, con una regla de tres, pero es más larga.

Los percentiles sería lo mismo que los cuartiles pero dividiendo todos los datos en 100 partes. Así pues, el percentil 60 (P₆₀) sería el valor que pasa del 0,6 en el H_i y representaría al 60% de la población.

Ejercicios de medidas de centralización

Aquí dejamos dos ejercicios para practicar las medidas de centralización, y podrás encontrar las soluciones más abajo.

1. Los goles marcados por un equipo de fútbol en los últimos 20 partidos han sido:

2 3 0 1 0 2 0 0 1 3 2 0 3 1 1 2 1 0 1 0

Calcula las medidas de centralización.

2. Hemos preguntado a la salida de un supermercado cuanto se han gastado en la compra:

26,45       23,91       22,15       29,03       31,25

34,21       25,00       21,34       28,76       26,51

Agrupa los datos de 5 en 5 a partir de los 20 euros, y calcula las medidas de centralización.

Soluciones:

1. 

Media aritmética:1,15

Moda: 0

Mediana: 1

2. 

Media aritmética: 27

Moda: [25 , 30)

Mediana: [25 , 30)

Como eran pocos valores, la mediana también se puede hacer sumándolos todos y dividiéndolos entre 10, y en este caso sería 26,86. Es más preciso este resultado, pero si en el estudio tenemos muchos valores iniciales, es más rápido el método de la tabla que hemos explicado.

Medidas de centralización: media aritmética, moda y mediana

Las medidas de centralización permiten conocer los valores intermedios de un estudio estadístico, y los más abundantes. 

Las tres medidas de centralización son la media aritmética, la mediana y la moda. Pero para entenderlo, vamos a explicarlo con un ejemplo:

Imaginemos que tenemos un estudio estadístico sobre las notas de un examen, y la tabla estadística es la siguiente:

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
4	1	0,03	1	0,03	3
5	5	0,17	6	0,2	17
6	6	0,21	12	0,41	21
7	6	0,21	18	0,62	21
8	7	0,24	25	0,86	24
9	3	0,1	28	0,96	10
10	1	0,03	29	0,99	3
	N=29

La media aritmética () nos indica el valor intermedio del estudio. Para calcularlo hay varias fórmulas, pero una manera más mecánica de calcularlo es añadiendo otra columna a la tabla, donde multiplicaremos el x_i por el f_i de cada fila, y luego sumaremos todos los números de la columna:

xi	fi	hi	Fi	Hi	%	xi · fi
4	1	0,03	1	0,03	3	4
5	5	0,17	6	0,2	17	25
6	6	0,21	12	0,41	21	36
7	6	0,21	18	0,62	21	42
8	7	0,24	25	0,86	24	56
9	3	0,1	28	0,96	10	27
10	1	0,03	29	0,99	3	10
	N=29					200

Finalmente para calcular la media aritmética tendremos que dividir el resultado de la suma de la columna de el x_i · f_i entre N:

Esto quiere decir que la nota media de la clase ha sido de 6,9.

El siguiente valor es la moda (mo) que nos indica el valor que más ha elegido la gente en el estudio, o lo que es lo mismo, el que tiene una mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo, la moda es 8, ya que hay siete alumnos que han sacado un ocho.

La última medida de centralización es la mediana, que nos indica el valor que se encuentra en el centro de todos los valores que han salido en el estudio. Es decir, si ordenásemos todas las notas de menor a mayor:

4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 10

Sería el valor que está en el centro:

4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 10

De manera que la mediana sería 7. Si en el medio nos quedan dos números, deberíamos 

Otra manera de averiguar la mediana es en la tabla de frecuencias buscar el valor que tiene una frecuencia relativa acumulada igual o superior a 0,5. Si miramos la tabla del ejemplo, la nota de 6 tiene una H_ide 0,41, y la nota de 7 de 0,62. Como el que pasa de 0,5 es 0,62, la mediana es 7.

Cuando la variable es cuantitativa continua, se sigue haciendo todo igual, pero añadiremos una columna de x_i donde el valor que saldrá será la media entre los dos números que pondremos en el intervalo.

Si trabajamos con las alturas de una clase y las agrupamos de 5 en 5 centímetros, la tabla sería así:

	xi	fi	hi	Fi	Hi	%
[1,50 - 1,55)	1,525	4	0,22	4	0,22	22
[1,55 - 1,60)	1,755	9	0,5	13	0,72	50
[1,60 - 1,65)	1,625	5	0,28	18	1	28
		N=18

De manera que para hacer la columna del x_i · f_i multiplicaríamos 1,525 · 4   /  1,755 · 9   / 1,625 · 5.

En estos casos de variables cuantitativas continuas cabe resaltar que la media aritmética será más exacta si sumamos todos los valores iniciales que nos dan y los dividimos entre N, pero si tenemos muchísimos valores iniciales, con el método de la tabla obtenemos una buena aproximación a la media aritmética.

Ejercicios para representar gráficamente

A continuación podéis encontrar una publicación con ejercicios estadísticos para hacer sus representaciones gráficas de las tres maneras que hemos visto anteriormente en el curso. Las soluciones están más abajo.

En este segundo están los mismos ejercicios con las soluciones.

Representar gráficamente un histograma

Los histogramas se utilizan para representar los datos de variables cuantitativas continuas. A diferencia del diagrama de barras, en los histogramas las barras siempre van a estar juntas o unidas.

Cosas importantes a tener en cuenta:

• En el eje horizontal pondremos los valores de la variable (los números con los que hemos hecho los intervalos).
• En el eje vertical haremos marcas a la misma distancia, para colocar los datos del f_i. Los números que pondremos en las marcas tienen que seguir la misma secuencia siempre. Por ejemplo, si en la primera marca ponemos 2, en la siguiente 4, en la siguiente 6... o si ponemos 100, en la siguiente 200, 300... Lo que no podemos hacer es poner en la primera marca 2, en la segunda 5, en la tercera 6...

Representar gráficamente un diagrama de sectores

El diagrama de sectores, o de quesitos, lo podemos utilizar para representar cualquier tipo de variable estadística. Para hacerlo exacto, necesitaremos un transportador de ángulos.

Lo primero que tendremos que hacer es calcular cuántos grados hará cada valor del estudio. A modo de ejemplo hemos completado la siguiente tabla:

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
0	6	0,3	6	0,3	30
1	6	0,3	12	0,6	30
2	5	0,25	17	0,85	25
3	3	0,15	20	1	15
	N=20

Para representar el 30% del primer valor plantearemos una regla de tres, teniendo en cuenta que el 100% de la circunferencia en la que haremos el gráfico equivale a 360º (un giro completo). 

Al ser directa, multiplicaremos en cruz y dividiremos por el número que quede:

Así pues, el 30% será 108º. Ahora hacemos una línea que vaya desde el centro de la circunferencia hasta la parte superior, colocamos el transportador en esta línea y representamos los 108º.

Con los siguientes valores vamos haciendo lo mismo:

Finalmente solo falta ir representando todos los ángulos con el transportador, empezando por la última línea que hayamos hecho. Para hacer el segundo ángulo de 108º colocaremos el transportador sobre la línea que cerraba el primer ángulo y lo representaremos.

Representar gráficamente en un diagrama de barras

Para representar gráficamente los datos de un estudio estadístico en un diagrama de barras tendremos que tener en cuenta los siguientes puntos:

• En el eje horizontal pondremos los valores de la variable (los valores que hay en la columna del x_i o los números con los que hemos hecho los intervalos).
• En el eje vertical haremos marcas a la misma distancia, para colocar los datos del f_i. Los números que pondremos en las marcas tienen que seguir la misma secuencia siempre. Por ejemplo, si en la primera marca ponemos 2, en la siguiente 4, en la siguiente 6... o si ponemos 100, en la siguiente 200, 300... Lo que no podemos hacer es poner en la primera marca 2, en la segunda 5, en la tercera 6... 

Ejercicios de tablas de frecuencias

Practica con estos tres ejercicios, y corrígelos con las soluciones que hemos puesto más abajo.

1. A continuación tenemos el color de ojos de los 20 alumnos de una clase:

M= marrón   V= verde    A= azules

M V M A M          A A V M M          M M V M A

A V M M M          V V M V M          M V A M A

Haz la tabla de frecuencias del estudio. Ordena los datos por orden alfabético.

2. Los goles marcados por un equipo de fútbol en los últimos 20 partidos han sido:

2  3  0  1  0  2  0  0  1  3  2  0  3  1  1  2  1  0  1  0

Haz la tabla de frecuencias del estudio.

3. Hemos preguntado a la salida de un supermercado cuanto se han gastado en la compra:

26,45       23,91          22,15          29,03          31,25

34,21       25,00          21,34          28,76          26,51

Agrupa los datos de 5 en 5 a partir de los 20 euros, y haz la tabla de frecuencias.

Soluciones:

1. 

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
A	7	0,23	7	0,23	23
M	15	0,5	22	0,73	50
V	8	0,27	30	1	27
	N=30

2.

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
0	7	0,35	7	0,35	35
1	6	0,3	13	0,65	30
2	4	0,2	17	0,85	20
3	3	0,15	20	1	15
	N=20

3.

xi	fi	hi	Fi	Hi	%
[20 , 25)	3	0,3	3	0,3	30
[25 , 30)	5	0,5	8	0,8	50
[30 , 35)	2	0,2	10	1	20
	N=10

Tablas de frecuencias para variables cualitativas continuas

En la lección anterior hemos visto cómo hacer tablas de frecuencias, pero si tenemos una variable cualitativa continua cambia ligeramente. 

El procedimiento es igual, solo que inicialmente los datos se acostumbran a agrupar en intervalos. Vamos con un ejemplo que será más claro. Las alturas de 10 alumnos de una clase son:

1,72 / 1,83 / 1,75 / 1,74 / 1,81/ 1,76 / 1,82 / 1,83 / 1,77 / 1,84

Si hiciéramos la tabla como antes, nos quedaría muy larga, porque saldrían muchas filas, ya que hay muy pocos valores que se repitan. Para evitar esto agruparemos los valores por ejemplo de 5 en 5 centímetros, y empezaremos por el 1,70. De manera que los intervalos numéricos quedarán así:

	xi	fi	hi	Fi	Hi
[1,70 - 1,75)
[1,75 - 1,80)
[1,80 - 1,85)

Ahora, el valor de la x_i será el número intermedio de los dos que aparecen en el intervalo. Así pues para la primera fila sumaremos 1,70+1,75 = 3,45, y dividiremos el resultado entre 2 --> 3,45 : 2 = 1,725. Con las otras filas el procedimiento es igual.

	xi	fi	hi	Fi	Hi
[1,70 - 1,75)	1,725
[1,75 - 1,80)	1,775
[1,80 - 1,85)	1,825

Por último, vamos a contar los números que hay dentro de cada intervalo.

Como se comenta en los temas de intervalos, el claudator [] quiere decir que ese número se incluye dentro de ese intervalo, y el paréntesis indica que ese número no se incluye. Por lo tanto, el 1,75 estaría dentro del segundo intervalo.

Por lo tanto, en el intervalo del [1,70 - 1,75) estarían el 1,72 y 1,74, de manera que el f_i sería 2.

	xi	fi	hi	Fi	Hi
[1,70 - 1,75)	1,725	2
[1,75 - 1,80)	1,775	3
[1,80 - 1,85)	1,825	5

Las otras partes de la tabla se completarían igual que hemos visto en la lección anterior.

Tablas de frecuencias

Para ordenar los datos de un estudio estadístico se utilizan las tablas de frecuencias.

Para hacer estas tablas suelen aparecer varios conceptos:

• Frecuencia absoluta (f_i): número de veces que aparece un valor en un estudio estadístico.
• Frecuencia relativa (h_i): cociente entre el valor de la frecuencia absoluta de un valor del estudio y el número total de datos que tenemos (N)
• Frecuencia absoluta acumulada (F_i): número de veces que aparece un valor igual o menor al de la variable.
• Frecuencia relativa acumulada (H_i).

Según el profesor que tengas, o el país, se pueden utilizar otras letras para representar cada frecuencia, pero el concepto es el mismo. También puede ser que al final añadan la columna del porcentaje.

Vayamos con un ejemplo diferente al del vídeo. Imaginemos que preguntamos a diez personas las veces que han ido al cine en los últimos tres meses y nos responden:

1 / 2 / 0 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 0 / 2 

En la primera columna de la tabla pondremos los diferentes valores de las respuestas:

xi	fi	hi	Fi	Hi
0
1
2

Para la columna de la frecuencia absoluta tendremos que contar cuántas veces ha salido cada valor. Cuántas veces ha salido el 0, cuántas veces el 1 y cuántas veces el 2.

xi	fi	hi	Fi	Hi
0	2
1	5
2	3

Después sumaremos todos los valores de la columna de f_i para saber cuántas personas formaban nuestra muestra.

xi	fi	hi	Fi	Hi
0	2
1	5
2	3
	N=10

Para la columna de la frecuencia relativa tendremos que dividir el valor de la frecuencia absoluta de la fila entre el valor de N.

El de la primera fila sería 

E igual con las otras filas, pero poniendo el valor de f_i

xi	fi	hi	Fi	Hi
0	2	0,2
1	5	0,5
2	3	0,3
	N=10

Para calcular la frecuencia absoluta acumulada tendremos que ir sumando el valor de la f_i de la fila en la que estemos, más los valores de las f_i superiores. De manera que el primer valor será 2. El segundo será 5+2=7. El tercer valor 3+5+2=10.

xi	fi	hi	Fi	Hi
0	2	0,2	2
1	5	0,5	7
2	3	0,3	10
	N=10

Por último, para calcular el valor de la frecuencia relativa acumuladatendremos que hacer lo mismo que con la absoluta acumulada, pero ir sumando los valores de la frecuencia relativa.

xi	fi	hi	Fi	Hi
0	2	0,2	2	0,2
1	5	0,5	7	0,7
2	3	0,3	10	1
	N=10

Así tendríamos toda la tabla de frecuencias completa. Vamos a hacer unas preguntas para acabar de entender las tablas.

¿Cuántas personas fueron dos veces al cine en los últimos meses? 3

¿Cuantas personas fueron una vez o menos al cine en los últimos tres meses? Miramos la absoluta acumulada y son 7 personas.

Por último, si nos pidieran el porcentaje, solo tendríamos que multiplicar el valor de la columna de la frecuencia relativa por 100:

0,2 · 100 = 20%

0,5 · 100 = 50%

0,3 · 100 = 30%

Tipos de variables estadísticas

Las variables estadísticas son las cosas que estudiamos en un estudio. Como por ejemplo la altura de las personas de un país, los lugares donde va la gente de vacaciones o la cantidad de goles en los partidos de fútbol.

Estas variables estadísticas las podemos agrupar de diferente manera:

• Variable cualitativa: son las que representan o hacen referencia a cualidades. Se expresan mediante palabras. Ejemplos: el color de ojos, el país de nacimiento de los habitantes de una ciudad, el estilo de libros que le gusta a la gente, el partido político al que botan.
• Variable cuantitativa: son las que representamos de forma numérica porque se pueden cuantificar. Hay dos tipos:
  • Variable cuantitativa discreta: solo se pueden expresar con       unas cifras concretas. Por ejemplo el número de hijos (solo puede ser 0, 1, 2, 3... pero no puede ser 1,2), los puntos en un partido de basquet.
  • Variable cuantitativa continua: se pueden expresar con         cualquier cifra. Por ejemplo la altura, los dólares gastados  en la compra (34,65 / 72,03...).

Población/universo o muestra de un estudio estadístico

Imaginemos que queremos hacer un estudio para saber qué color de un tipo de vehículo le gusta más a la gente de un país de 40.000.000 de habitantes. ¡¡¡¡No le podemos preguntar a todo el mundo qué color le gusta!!!!

Para hacerlo bien, cogeremos un pequeño grupo de unas 5.000 personas de ese país y les haremos la pregunta. De manera, que si a estas personas las hemos elegido de forma aleatoria, las respuestas que nos den serán "las mismas" que nos darían los 40.000.000 de habitantes. 

En este ejemplo ya han salido los dos conceptos de población y muestra.

La población o universo de un estudio estadístico es el conjunto de individuos (personas u objetos) sobre los que hacemos el estudio. En el ejemplo anterior serian los 40.000.000 de habitantes.

La muestra es el subgrupo de individuos a los que realmente les hacemos las preguntas del estudio estadístico. En el ejemplo, serían las 5.000 personas.

Si la muestra que hemos elegido es correcta y aleatoria, se dice que es representativa de la población, es decir, que el resultado que se obtiene de la muestra se puede aplicar a toda la población.

Por ejemplo, si quiero saber si los habitantes de una ciudad juegan o no a videojuegos, no podré ir a la puerta de una tienda de videojuegos a hacer la pregunta, porque allí la mayoría de personas me dirán que sí juegan. En este caso, la muestra no sería representativa de la población, porque el resultado no lo podríamos aplicar a toda la población. Sería representativo si, por ejemplo, fuéramos a la puerta del ayuntamiento y le preguntásemos a todas las personas que van pasando por allí.

Para finalizar, lo que queremos estudiar sería la variable (en el primer ejemplo el color de vehículo, y en el segundo si juegan o no a videojuegos). Pero esto lo explicaremos más detalladamente en el siguiente post.

Introducción al curso de estadística

Si es la primera vez que empiezas a estudiar la estadística, este es tu curso. 

Empezaremos desde cero a ver esta parte de las matemáticas que nos permite agrupar, analizar y interpretar los datos de un estudio estadístico.

Desde los tipos de variable, las tablas de frecuencia y las representaciones gráficas, hasta otros valores estadísticos que nos permitirán interpretar de manera objetiva los resultados de un estudio; como la mediana, la media aritmética, medidas de dispersión (varianza, covarianza, desviación...).

Todo lo que necesitas para superar un tema muy mecánico y muy fácil de realizar.

Y a más a más, ejercicios para ir practicando poco a poco, con las soluciones.

¿Estáis preparados/as?